Ejercicios 9 febrero

Liga para ejercicios ejercicios 1.

Operaciones sobre conjuntos.
Estas operaciones son formas específicas de combinar conjuntos para formar otros conjuntos. Estas operaciones y sus propiedades nos llevan a la teoría de conjuntos como una álgebra, o sea un sistema matemático.

Complemento.
Sea B un subconjunto cualquiera del conjunto universo, el complemento de B con respecto a U se define como el conjunto de elementos de U que no pertenecen a B.
Se define B´ = {x|x ∈ U y x ∉ B }

Ejemplos:
Si U es el conjunto de lectores del periódico “Gaceta” y S es el conjunto de los suscriptores del mismo, el conjunto S´esta formado por los lectores que no están suscritos.

Si U es el conjunto de países latinoamericanos y A es el conjunto de los países que pertenecen a la Asociación Latinoamericana de libre comercio, A´ tiene por elementos a todos lo países latinoamericanos que no pertenecen a esa asociación.

Sea el conjunto universo U={1,2,3,4,5,6,7} y los subconjuntos:
A={1,3,5,7} B={2,4} C={1,2,3}

definir A´ , B´ , C´ , ∅´y U´

A´={2, 4, 6} B´={1, 3, 5, 6, 7} C´={4, 5, 6, 7} ∅´={1,2,3,4,5,6,7} U´=∅

Intersección.
Sea A y B dos conjuntos cuales quiera del conjunto universo, la intersección de los conjuntos A y B, es el conjunto de elementos de U que se encuentran tanto en A como en B. Es el conjunto formado por los elementos comunes a ambos conjuntos, y se simboliza:
A ∩ B

Ejemplos:

Sea U={a,b,c,d,e,f,g } y sus subconjuntos P={a,c,d,e} y Q={a,b,f}
definir P ∩ Q y P´∩ Q

P´={b, f, g} P ∩ Q ={ a } P´∩ Q={b, f}

Propiedades de la intersección.
1)De la definición de la intersección se deduce directamente que:
A ∩ B = B ∩ A
2)Para cualquier subconjunto A del conjunto universo U se cumple que A ∩ ∅ = ∅ .
3)Para cualquier subconjunto A del conjunto universo U se cumple que A ∩ U=A.
4)Para cualquier conjunto A se cumple que A ∩ A=A.
5)Para cualquier conjunto A se cumple que A ∩ A´ = ∅

Unión.
Sean P y Q dos subconjuntos cualesquiera del conjunto universo U, La unión de los conjuntos P y Q es el conjunto de los elementos de U que pertenecen por lo menos a uno de los conjuntos P o Q, y se simboliza:
A ∪ B

Ejemplos:

El conjunto universal esta formado por las letras del abecedario, A es el subconjunto de las vocales y B el subconjunto {a,b,c}.
A ∪ B= {a,b,c,e,i,o,u}

Propiedades de la unión.
1)De la definición de la unión se deduce directamente que:
A ∪ B = B ∪ A
2)Para cualquier subconjunto A del conjunto universo U se cumple que A ∪ ∅ = A .
3)Para cualquier subconjunto A del conjunto universo U se cumple que A ∪ U=U.
4)Para cualquier conjunto A se cumple que A ∪ A=A.
5)La unión del conjunto A y de su complemento A´es el conjunto universo U.
6)Si la unión de dos conjuntos es vacía, los dos conjuntos deben de serlo también.

Diferencia de conjuntos.
Sean A y B dos subconjuntos cualesquiera del conjunto universo U, la diferencia de dos conjuntos A y B es el conjunto de elementos que pertenecen a A pero no a B, y se simboliza:
A – B
Ejemplos:

Sea A={a,e,i,o,u} y B={a,b,c,d,e,u} A – B = {i, o}


Sea P={1,2,3,5,7} Q={2,3,4,6} R={1,2,9,11} definir:

a) P-Q , b) (P-Q)-R, c) Q-R, d) P-(Q-R), e) ∅ - (P∩ Q ∩R)

a) P-Q={1, 5, 7}
b) (P-Q)-R={5,7}
c) Q-R={3, 4, 6}
d) P-(Q-R)={1,2,5,7}
e) P∩ Q ∩R={2} ∅ - (P∩ Q ∩R)= ∅

Propiedades de la diferencia.
1)La operación de diferencia de conjuntos no es conmutativa, es decir A-B en diferente de B-A.
2)Si A es un subconjunto de B, no hay elementos en A que no estén en B, por lo que el conjunto A-B carece de elementos.

Aplicaciones en conjuntos de información.
Se utilizan los conceptos anteriormente aprendidos para analizar lógicamente conjuntos de información, evaluar su consistencia y obtener información adicional.

Numero de elementos de la unión de conjuntos.
Nos interesa utilizar el conocimiento del numero de elementos de varios conjuntos, para determinar cuantos elementos forman la unión de esos conjuntos.

Consideremos a dos conjuntos A y B. Existen dos casos posibles:
a) Los conjuntos son disjuntos, en este caso el numero de elementos de la unión es la suma de los elementos de A y de los elementos de B:
|A ∪ B|= |A| + |B|

b) Los conjuntos A y B no son disjuntos es decir tienen elementos en común el numero de elementos de la unión es:

|A ∪ B|= |A| + |B| - |A ∩ B|

3 febrero 2009

Cardinalidad de un conjunto.
La cardinalidad de un conjunto se define como la cantidad de elementos que contiene dicho conjunto y se denota por |A| en donde A es el conjunto.
Por ejemplo si A = {2,4,5} su cardinalidad es 3, es decir |A|=3.

Conjuntos equivalentes: Son los conjuntos que tienen la misma cardinalidad, es decir el mismo numero de elementos.

A={a,b,c,d} B={1,2,3,4}

se dice que A y B son conjuntos equivalentes.

Conjuntos iguales.
Dos conjuntos son iguales si tienen exactamente los mismos elementos, no importa si éstos aparecen en diferente orden en ambos conjuntos, o si los conjuntos se escriben en formas diferentes, por ejemplo:

A={tenedor, cuchillo, cuchara} B={cuchillo, tenedor, cuchara}

C={ los números enteros mayores que 3 y menores que 8} D={4, 5, 6, 7}

E={ los mexicanos en edad de votar } F= { los mexicanos de 18 años o mayores }

de los conjuntos anteriores podemos decir que:

A=B C=D E=F

Subconjuntos.
Si todo elemento de un conjunto A es tambien elemento de un conjunto B, Entonces se dice que A es un subconjunto de B. Dicho de otra forma, A es subconjunto de B si x ∈ A implica x ∈ B.
Lo anterior se denota: A ⊂ B
Si se tienen los conjuntos:
C={1,3,5} D={5,4,3,2,1}
podemos decir que:
C ⊂ D
Si se tienen los siguientes conjuntos:
D={x|x es un numero par positivo} E={2 elevado a la n|n es un numero entero positivo}
podemos decir que:
D ⊂ E y E ⊂ D por lo tanto D = E

Observación el conjunto vacío se considera subconjunto de todos los conjuntos.


Conjunto potencia.
La familia de todos los subconjuntos de un conjunto S se le llama conjunto potencia de S.
Por ejemplo, si S= {a, b, c} entonces la lista completa de subconjuntos de S es:

1. { } (conjunto vacío);
2. {a};
3. {b};
4. {c};
5. {a, b};
6. {a, c};
7. {b, c};
8. {a, b, c};


y por lo tanto el conjunto potencia de S es

P(S) = {{ }, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}.

por ejemplo si T={4,7,8} entonces
P(T) = {{},{4},{7},{8},{4,7}{4,8}{7,8}{4,7,8}}

Diagramas de Venn-Euler.
Estos diagramas nos permiten ilustrar de manera sencilla e instructiva las relaciones entre conjuntos. Los conjuntos son representados mediante un area plana por lo general delimitada por un circulo.

18 enero 2011

Definición de conjunto.
Es una lista, colección o clase de objetos bien definidos, objetos que pueden ser cualquiera. A estos objetos se les llama elementos o miembros del conjunto.

Notación.
Es usual denotar los conjuntos por letras mayúsculas A,B,X,Y........
y los elementos de los conjuntos por letras minusculas a,b,x,y.......

La definición de un conjunto se puede realizar de 2 maneras diferentes:
Definición tabular: Es cuando definimos un conjunto mediante la enumeración de sus elementos separados por comas y encerrados entre llaves {}, por ejemplo:
A = {1, 3, 7, 10}

Definición por comprensión o constructiva: Es cuando definimos el conjunto enunciando las propiedades que debe de tener sus elementos.
B = {x | x es par }


Pertenencia de elementos.
Si un objeto x es elemento de un conjunto A, es decir, si A contiene a x como uno de sus elementos se dice que x pertenece a A y se escribe:
x ∈ A
Si por el contrario un objeto x no es elemento de un conjunto A, es decir, si A no contiene a x como uno de sus elementos se dice que x no pertenece a A y se escribe:

x ∉ A

Tipos de conjuntos.
Conjunto Vacío: es el que no posee elementos. También se le llama conjunto nulo. Generalmente se le representa por los símbolos: ∅ ó { }

Conjunto Unitario: es el que tiene un único elemento.

Conjunto Universo: Es un conjunto cuyo objeto de estudio son los subconjuntos del mismo, por ejemplo:

Sea Y = { enero, febrero } ; Ñ = { marzo, junio, agosto }

El conjunto universo será: U = {x | x= mes del año }

Conjunto Finito: Se llama así al conjunto al cual podemos nombrar su último elemento

Ejemplo: D ={x/x es día de la semana}
Es finito porque sabemos cuáles son todos los días de la semana.

Conjunto Infinito: se denomina así, ya que no podemos nombrar su último elemento.

Conjuntos disjuntos: son aquellos que no poseen ningún elemento común.